Espace complet - Math'φsics

Espace complet

Formulaire de report
Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent

Espace complet \(E\)
Toute Suite de Cauchy de \(E\) est convergente.
- on dit que \(A\subset E\) est complet si c'est vrai pour la Topologie induite
- une partie complète est toujours Fermée
- caractérisation : toute suite décroissante de fermés non vides dont la suite des diamètres tend vers \(0\) a une intersection non vide (Lemme des fermés emboîtés)
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner des exemples d'espaces complets.
Verso:
- \({\Bbb R}\) et \({\Bbb C}\) pour la distance usuelle
- tout espace vectoriel de dimension finie
- les espaces \(L^p\) pour \(p\in[\![1,\infty]\!]\)
Bonus:
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner un exemple d'espace métrique non complet.
Verso: \({\Bbb R}[X]\)
Bonus:
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner un exemple de distance pour laquelle \({\Bbb R}\) n'est pas complet.
Verso: La distance \(d:(x,y)\mapsto\lvert\arctan x-\arctan y\rvert\)
Bonus: La notion de complétude est donc associée à la Distance, et non à la topologie.
Donc pas de généralisation de la complétude pour des espaces topologiques généraux.
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Que dire de l'équivalence $$\text{complet }\iff\text{ fermé}$$
Verso:
- \(\implies\) est toujours vrai
- \(\impliedby\) n'est vrai que dans un Espace métrique complet
Bonus:
Carte inversée ?:
END

Montrer que dans un espace métrique complet, fermé \(\implies\) complet.

On pose une suite de Cauchy du fermé. Alors elle est convergente.

On conclut par fermeture.

Montrer que complet \(\implies\) fermé.

On travaille par contraposée et on prend un point entre \(A\) et son adhérence.

On utilise la caractérisation séquentielle pour exhiber une suite qui converge vers ce point.

C'est une suite de Cauchy qui ne converge pas dans \(A\), donc \(A\) n'est pas complet.

Exercices

On considère sur \({\Bbb R}\) la distance \(d\) définie par $$d(x,y)=\lvert\arctan(x)-\arctan(y)\rvert.$$
Montrer que \(d\) engendre la topologie usuelle.

On va utiliser la caractérisation avec \(\operatorname{Id}\).

Pour montrer la continuité, on va utiliser la caractérisation (cela revient à comparer les suites convergentes, mais c'est plus prudent de procéder comme ça pour ne pas faire d'erreurs).

Une suite qui converge pour \(\lvert\cdot\rvert\) converge pour \(d\) par continuité de \(\arctan\).

Réciproquement, par continuité de \(\arctan\), toute suite qui converge pour \(d\) converge aussi pour \(\lvert\cdot\rvert\).

On considère sur \({\Bbb R}\) la distance \(d\) définie par $$d(x,y)=\lvert\arctan(x)-\arctan(y)\rvert.$$
On sait que \(d\) engendre la topologie usuelle.
Montrer que \(({\Bbb R},d)\) n'est pas complet.

On exhibe un contre-exemple en utilisant le fait que \(d\) est bornée.

La suite ne converge pas pour la topologie usuelle, donc elle ne converge pas pour \(d\).

On considère sur \({\Bbb R}\) la distance \(d\) définie par $$d(x,y)=\lvert\arctan(x)-\arctan(y)\rvert.$$
On sait que \(d\) engendre la topologie usuelle et que \(({\Bbb R},d)\) n'est pas complet.
Quel est le complété de \(({\Bbb R},d)\) pour cette distance ?

Le "défaut" de \(d\) est qu'elle est bornée. On va donc prendre \(\overline{\Bbb R}\) comme complété.

Par unicité du complété, il suffit de montrer que \((\overline{\Bbb R},d)\) est complet.

Si la suite tend vers \(\pm\infty\), alors elle est stationnaire et c'est ok.

Sinon, elle converge pour la topologie usuelle ou diverge vers \(\pm\infty\). Dans tous les cas, c'est ok pour nous.
Rétroliens :
- Physique quantique